高考导数 - 对端点效应的优化

Author Avatar
Jimmy Zhang Apr 08, 2017
  • Read this article on other devices

挖坑待填……

简介

端点效应这个名词也是由《高考数学你真的掌握了吗》系列丛书的《函数》一册提出的。该书中花了大量的篇幅讲端点效应,但是其中叙述略有不完美之处(毕竟你高考答解答题不可能一来就把它当结论用)。因此,在此我对书中所提到的几种端点效应的应用情况做一个梳理与优化。

废话了这么多还是没说端点效应是什么。

端点效应一般适用于恒成立问题。题中函数往往含有一未知参数aa并已知某种恒成立条件,并求解aa的范围。另外,此类题目中往往会给xx限定一个范围(有时是函数自身隐含的定义域)。显然,若要使该不等式在给定区间内恒成立,在端点处也应该成立,由此往往可找到一些临界条件(必要不充分条件),从而减少讨论的区间数以简化解题。

依照书中的类型划分,在这里我也把这一类问题划为三类,并着重分享最后一类情况:

  • 端点处取值有意义且不为0
  • 端点处取值无意义且区域无穷
  • 端点处的取值为0 【最常见的情况】

P.S. 如果你有《高考数学你真的掌握了吗》系列丛书的《函数》一册,不妨先看看书再来看本文。

端点处取值有意义且不为 0

这是最简单的一类端点效应,由于过于简单,不仅考试一般不会考甚至遇到此类题目我也建议不这样考虑。

我们知道,既然在给定区间内存在恒成立问题,那么对该区间中的任意一个值都满足该恒成立条件。就算该区间是开区间我们也一定能在端点处找到临界条件。这样操作目的时获得一个初始的取值范围(必要不充分条件),以缩小后续讨论的范围、简化问题。

我就以书上的一道例题做一个简单示范吧。

1. (《高考数学你真的掌握了吗 - 函数》 例5.18)若f(x)=ax2(3a)x+2a>0f(x) = ax^2 - (3 - a)x + 2 - a > 0[0,1][0,1]上恒成立,则实数aa的取值范围是?

解: 由题:
{f(0)=2a>0f(1)=a1>0\begin{cases}
f(0) = 2 - a > 0 \
f(1) = a - 1 > 0
\end{cases}

解得:
1<a<21 < a < 2
此时,由二次函数性质,f(x)f(x)开口向上,对称轴x=3a2a(14,1)x = \frac{3 - a}{2a} \in (\frac{1}{4},1)在区间[0,1][0,1]上恒成立
等价于:
Δ<01<a<95\Delta < 0 \Rightarrow 1 < a < \frac{9}{5}

答: aa的取值范围为[1,95][1,\frac{9}{5}].

若不采用端点效应讨论次数高达9次,由此可见端点效应的便捷之处。
另外,若将题中的[1,2][1,2]改为(1,2)(1,2),则临界条件应该为:
{f(0)=2a0f(1)=a10\begin{cases}
f(0) = 2 - a \ge 0 \
f(1) = a - 1 \ge 0
\end{cases}

毕竟x=0x = 0x=1x = 1处无需满足恒成立条件。

端点处取值无意义且区域无穷

未完待续…

端点处的取值为 0

首先我们来看看人教版数学选修2-2教材是怎么说的:

一般地,函数y=f(x)y = f(x)x=x0x = x_0处的瞬时变化率是:
limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}
我们称它为函数y=f(x)y = f(x)x=x0x = x_0处的导数(derivative),记作f(x0)f’(x_0)yx=x0y’|{x = x_0},即:
f(x0)=limΔx0ΔyΔx=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δxf’(x_0) = \lim\limits{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}

真TM啰嗦… 但是从中我们可以很容易地推出,如果有f(x0)=0f(x_0) = 0,那么当Δx>0\Delta x > 0但无限趋近于0时有f(x0)=limΔx0f(x0+Δx)f(x0)Δx=limΔx0f(Δx)Δxf’(x_0) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{f(\Delta x)}{\Delta x}。也就是说,如果f(x0)<0f’(x_0) < 0,就一定存在f(Δx)<0f(\Delta x) < 0;如果f(x0)>0f’(x_0) > 0,就一定存在f(Δx)>0f(\Delta x) > 0

这个就是端点效应的一种重要情况。这个名字则是则是来自于《高考数学你真的掌握了吗?》系列丛书的《函数》一册。但是那本书上并没有像我这样解释,而是直接给了结论。如果按照该书上这样直接写的话很可能造成解答题中格式性失分。

那我们来看看我们是否可以将这一发现应用于上文中2010和2011年的那两道导数题?

未完待续……

小结

未完待续……

参考文献

  • 张杨文主编.高考数学你真的掌握了吗 函数 [M].北京:清华大学出版社, 2014 (2016.5 重印)

This blog is under a CC BY-NC-SA 4.0 Unported License.
Link to this article: https://blog.codgician.pw/2017/04/08/thoughts-on-senior-3-derivative-problems-3/